A note on Bayesian density estimation

In questa nota si considera il problema della stima di una funzione di densità su [0, 1] dotata di derivata prima holderiana di ordine incognito. Si adotta come stimatore la densità attesa a posteriori corrispondente ad una misura iniziale che seleziona quasi certamente distribuzioni con densità di forma poligonale. L’attenzione è rivolta a fornire una valutazione dell’accuratezza asintotica della suddetta procedura di stima bayesiana non parametrica, quale espressa dalla velocità di convergenza a zero del rischio associato alla funzione di perdita indotta dal quadrato della norma L1. Si dimostra che, puntualmente, lo stimatore in esame raggiunge la velocità di convergenza ottima (secondo il criterio del minimax), a meno di un eventuale fattore logaritmico, adattandosi automaticamente all’incognito livello di regolarità della densità che genera le osservazioni campionarie.