A contribution in multivariate risk measurement

Il lavoro nasce allo scopo di dare una rappresentazione della teoria del rischio (da un punto di vista attuariale e finanziario) nel contesto multivariato statico, quindi quando trattiamo vettori e non variabili aleatorie. Dopo aver descritto le misure di rischio distorte nel caso scalare, proponiamo una definizione per le misure distorte per vettori, con le loro principali proprietà e, attraverso questa definizione, introduciamo anche un Value at risk e un Conditional Value at risk multivariati. Un altro risultato è degno di nota: possiamo rappresentare una misura di rischio multivariata distorta subadditiva come combinazione di CVaR. Infine, introduciamo una nuova misura di rischio multivariata, chiamata Product Stop-loss Premium (PSP) e poi valutiamo le somiglianze tra questo e il CVaR distorto con componenti indipendenti e nel caso bivariato; ma anche le caratteristiche comuni tra una misura di rischio e una misura di concordanza. Il nostro PSP nasce dalla volontà di trovare una misura di rischio multivariata intuitiva e utile nel descrivere il rischio comune. Ricorda anche una sorta di tail covariance tra le componenti del vettore aleatorio.

This work takes origin by the aim to give a representation of the theory of risk (from an actuarial and financial point of view) in the multivariate static setting, and thus when we deal with random vectors instead of random variables. After describing distorted risk measures in the scalar case, we propose a definition for vector distorted risk measures, with their major properties and, through this definition, we introduce also a multivariate Value at Risk and Conditional Value at Risk. Another result is worth mentioning: we can represent subadditive distorted risk measures in the multivariate case as combination of vector CVaRs. Finally, we introduce a new multivariate measure, called Product Stop-loss Premium (PSP) and then we look at the similarities between this and the distorted CVaR with independent components in the bivariate case; but we also detect the peculiarities of a vector risk measure over concordance measures. Our PSP born from the attempt to find a multivariate risk measure very intuitive and useful in describing the joint risk. It can remember also a kind of tail covariance between the components of the random vector.