Operator methods in quantitative finance

Questa tesi di Dottorato si inserisce in un filone particolarmente attivo e fruttuoso dell’Economia e della Finanza: i metodi spettrali, che hanno prodotto un ricco fiorire di ricerca negli ultimi anni, con svariate applicazioni finanziarie ed econometriche, discusse ad esempio in Linetsky [2004] et al. ed in A¨ıt–Sahalia, Hansen e Scheinkman [2004]. Questo lavoro si focalizza sullo sviluppo di una tecnica innovativa, che pone le proprie basi sul ben noto approcio degli Stati Coerenti in Fisica. Tale tecnica estende i confini dei metodi spettrali, introducendo un insieme overcompleto di funzioni che hanno il medesimo ruolo delle funzioni esponenziali nelle trasformate di Fourier e di Laplace: molto brevemente, tale insieme overcompleto di funzioni, appunto note con il nome di Stati Coerenti, permette di generare una risoluzione dell’identit`a in un opportuno spazio Hilbertiano, s`ı da estendere il concetto di trasformata di Fourier. Una prima, immediata applicazione `e senza dubbio la valutazione di derivati finanziari. `E noto che, in assenza di opportunit`a di arbitraggio, il prezzo di un derivato che non sia correntemente quotato nel mercato avviene in un ambito probabilistico, calcolando il valore atteso dei futuri flussi di cassa, scontati con il tasso privo di rischio. La scelta di un corretto modello stocastico (i.e. della probabilit`a di transizione) `e dunque fondamentale per non generare sensibili errori di valutazione. La recente Letteratura Finanziaria ha volto lo sguardo verso i cosiddetti Modelli Affini, che riescono a cogliere intricati aspetti della realt`a finanziaria, pur mantenendo un’accettabile trattabilit`a analitica: essi permettono infatti di introdurre una dinamica a salti, che risulta uno strumento matematico necessario per replicare gli improvvisi cambiamenti dei fattori di mercato. I Processi Affini hanno pertanto trovato ampio respiro nella modellizzazione del Rischio di Credito. La particolarit`a che contraddistingue i Modelli Affini `e la natura esponenziale affine della funzione caratteristica, che `e facilmente calcolata risolvendo un sistema di equazioni differenziali ordinarie. `E pertanto naturale il ricorso alla trasformata di Fourier, che permette di replicare il derivato con una somma continua (un integrale) di strumenti finanziari elementari, il cui prezzo `e facilmente calcolabile ed il cui payoff (cio`e il flusso di cassa finale) `e esponenziale. Carr and Madan [1999] hanno recentemente sviluppato una metodologia che permette l’applicazione dell’algoritmo noto con il nome di Fast Fourier Transform nella valutazione dei derivati; sfortunatamente, tale metodologia non sempre produce risultati accettabili, ed anzi dimostra problemi di convergenza numerica in taluni casi. In questa tesi sviluppiamo una trasformata basata sugli Stati Coerenti, che non presenta i limiti della Fast Fourier Transform di Carr and Madan [1999]. L’idea basilare `e ancora una volta quella di replicare il payoff del derivato attraverso payoffs di cui si conosce il prezzo. Al fine di raggiungere il nostro scopo, andiamo a studiare le simmetrie del modello, attraverso un’attenta analisi del generatore di Markov, cos`ı da individuare l’insieme di Stati Coerenti pi`u adatto ad esso. Gli esempi che portiamo si riferiscono ai ben noti processi CIR e di Vasicek (entrambi con presenza di salti) ed i risultati numerici ottenuti lasciano ben sperare per futuri sviluppi e miglioramenti di questo approccio.

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