Hierarchical and compositional verification of cryptographic protocols

Nella verifica dei protocolli di sicurezza ci sono due importanti approcci che sono conosciuti sotto il nome di approccio simbolico e computazionale, rispettivamente. Nell'approccio simbolico i messaggi sono termini di un'algebra e le primitive crittografiche sono idealmente sicure; nell'approccio computazionale i messaggi sono sequenze di bit e le primitive crittografiche sono sicure con elevata probabilità. Questo significa, per esempio, che nell'approccio simbolico solo chi conosce la chiave di decifratura può decifrare un messaggio cifrato, mentre nell'approccio computazionale la probabilità di decifrare un testo cifrato senza conoscere la chiave di decifratura è trascurabile. Di solito, i protocolli crittografici sono il risultato dell'interazione di molte componenti: alcune sono basate su primitive crittografiche, altre su altri principi. In generale, quello che risulta è un sistema complesso che vorremmo poter analizzare in modo modulare invece che doverlo studiare come un singolo sistema. Una situazione simile può essere trovata nel contesto dei sistemi distribuiti, dove ci sono molti componenti probabilistici che interagiscono tra loro implementando un algoritmo distribuito. In questo contesto l'analisi della correttezza di un sistema complesso è molto rigorosa ed è basata su strumenti che derivano dalla teoria dell'informazione, strumenti come il metodo di simulazione che permette di decomporre grossi problemi in problemi più piccoli e di verificare i sistemi in modo gerarchico e composizionale. Il metodo di simulazione consiste nello stabilire delle relazioni tra gli stati di due automi, chiamate relazioni di simulazione, e nel verificare che tali relazioni soddisfano delle condizioni di passo appropriate, come che ogni transizione del sistema simulato può essere imitata dal sistema simulante nel rispetto della relazione data. Usando un approccio composizionale possiamo studiare le proprietà di ogni singolo sotto-problema indipendentemente dagli altri per poi derivare le proprietà del sistema complessivo. Inoltre, la verifica gerarchica ci permette di definire molti raffinamenti intermedi tra la specifica e l'implementazione. Spesso la verifica gerarchica e composizionale è più semplice e chiara che l'intera verifica fatta in una volta sola. In questa tesi introduciamo una nuova relazione di simulazione, che chiamiamo simulazione polinomialmente accurata o simulazione approssimata, che è composizionale e che permette di usare l’approccio gerarchico nelle nostre analisi. Le simulazioni polinomialmente accurate estendono le relazioni di simulazione definite nel contesto dei sistemi distribuiti sia nel caso forte sia in quello debole tenendo conto delle lunghezze delle esecuzioni e delle proprietà computazionali delle primitive crittografiche. Oltre alle simulazioni polinomialmente accurate, forniamo altri strumenti che possono semplificare l’analisi dei protocolli crittografici: il primo è il concetto di automa condizionale che permette di rimuovere eventi che occorrono con probabilità trascurabile in modo sicuro. Data una macchina che è attaccabile con probabilità trascurabile, se costruiamo un automa che è condizionale all'assenza di questi attacchi, allora esiste una simulazione tra i due. Questo ci permette, tra l'altro, di lavorare con le relazioni di simulazione tutto il tempo e in particolare possiamo anche dimostrare in modo composizionale che l'eliminazione di eventi trascurabili è sicura. Questa proprietà è giustificata dal teorema dell’automa condizionale che afferma che gli eventi sono trascurabili se e solo se la relazione identità è una simulazione approssimata dall’automa alla sua controparte condizionale. Un altro strumento è il teorema della corrispondenza delle esecuzioni, che estende quello del contesto dei sistemi distribuiti, che giustifica l’approccio gerarchico. Infatti, il teorema afferma che se abbiamo molti automi e una catena di simulazioni tra di essi, allora con elevata probabilità ogni esecuzione del primo automa della catena è in relazione con un’esecuzione dell'ultimo automa della catena. In altre parole, abbiamo che la probabilità che l'ultimo automa non sia in grado di simulare un’esecuzione del primo è trascurabile. Infine, usiamo il framework delle simulazioni polinomialmente accurate per fornire delle famiglie di automi che implementano le primitive crittografiche comunemente usate e per dimostrare che l'approccio simbolico è corretto rispetto all’approccio computazionale.

Two important approaches to the verification of security protocols are known under the general names of symbolic and computational, respectively. In the symbolic approach messages are terms of an algebra and the cryptographic primitives are ideally secure; in the computational approach messages are bitstrings and the cryptographic primitives are secure with overwhelming probability. This means, for example, that in the symbolic approach only who knows the decryption key can decrypt a ciphertext, while in the computational approach the probability to decrypt a ciphertext without knowing the decryption key is negligible. Usually, the cryptographic protocols are the outcome of the interaction of several components: some of them are based on cryptographic primitives, other components on other principles. In general, the result is a complex system that we would like to analyse in a modular way instead of studying it as a single system. A similar situation can be found in the context of distributed systems, where there are several probabilistic components that interact with each other implementing a distributed algorithm. In this context, the analysis of the correctness of a complex system is very rigorous and it is based on tools from information theory such as the simulation method that allows us to decompose large problems into smaller problems and to verify systems hierarchically and compositionally. The simulation method consists of establishing relations between the states of two automata, called simulation relations, and to verify that such relations satisfy appropriate step conditions: each transition of the simulated system can be matched by the simulating system up to the given relation. Using a compositional approach we can study the properties of each small problem independently from the each other, deriving the properties of the overall system. Furthermore, the hierarchical verification allows us to build several intermediate refinements between specification and implementation. Often hierarchical and compositional verification is simpler and cleaner than direct one-step verification, since each refinement may focus on specific homogeneous aspects of the implementation. In this thesis we introduce a new simulation relation, that we call polynomially accurate simulation, or approximated simulation, that is compositional and that allows us to adopt the hierarchical approach in our analyses. The polynomially accurate simulations extend the simulation relations of the distributed systems context in both strong and weak cases taking into account the lengths of the computations and of the computational properties of the cryptographic primitives. Besides the polynomially accurate simulations, we provide other tools that can simplify the analysis of cryptographic protocols: the first one is the concept of conditional automaton, that permits to safely remove events that occur with negligible probability. Starting from a machine that is attackable with negligible probability, if we build an automaton that is conditional to the absence of these attacks, then there exists a simulation. And this allows us to work with the simulation relations all the time and in particular we can also prove in a compositional way that the elimination of negligible events from an automaton is safe. This property is justified by the conditional automaton theorem that states that events are negligible if and only if the identity relation is an approximated simulation from the automaton and its conditional counterpart. Another tool is the execution correspondence theorem, that extends the one of the distributed systems context, that allows us to use the hierarchical approach. In fact, the theorem states that if we have several automata and a chain of simulations between them, then with overwhelming probability each execution of the first automaton is related to an execution of the last automaton. In other words, we have that the probability that the last automaton is not able to simulate an execution of the first one is negligible. Finally, we use the polynomially accurate simulation framework to provide families of automata that implement commonly used cryptographic primitives and to prove that the symbolic approach is sound with respect to the computational approach.